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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 9 - Series

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4. Utilizando el criterio que juzgue más adecuado, decida si las siguientes series son convergentes o divergentes:
f) ∑n=0∞n2e−n3\sum_{n=0}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}

Respuesta

En primer lugar, fijate que esta serie también la podemos escribir así:

∑n=0∞n2e−n3= ∑n=0∞n2en3  \sum_{n=0}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n^3}}  

Podemos aplicar el criterio de Cauchy para series positivas:

lim⁡n→∞∣n2en3∣n=lim⁡n→∞n2en3n= lim⁡n→∞n2nen3n\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{n^2}{e^{n^3}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{e^{n^3}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{\sqrt[n]{e^{n^3}}}

Ahora atenti, en el denominador podemos simplificar la raíz enésima con una de las nn del exponente y nos queda:

lim⁡n→∞n2nen2\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{e^{n^2}}

Y ahora cuando tomamos límite, el numerador tiende a 11 y el denominador tiende a +∞+\infty, por lo tanto, el resultado de este límite es...

lim⁡n→∞n2nen2=0<1\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{e^{n^2}} = 0 < 1

Por lo tanto, como el resultado del límite es menor a 11, entonces Cauchy nos asegura que nuestra serie converge.
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