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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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4.
Utilizando el criterio que juzgue más adecuado, decida si las siguientes series son convergentes o divergentes:
f) \(\sum_{n=0}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}\)
f) \(\sum_{n=0}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}\)
Respuesta
En primer lugar, fijate que esta serie también la podemos escribir así:
Reportar problema
\(\sum_{n=0}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{e^{n^3}} \)
Podemos aplicar el criterio de Cauchy para series positivas:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{n^2}{e^{n^3}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{e^{n^3}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{\sqrt[n]{e^{n^3}}}$
Ahora atenti, en el denominador podemos simplificar la raíz enésima con una de las $n$ del exponente y nos queda:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{e^{n^2}}$
Y ahora cuando tomamos límite, el numerador tiende a $1$ y el denominador tiende a $+\infty$, por lo tanto, el resultado de este límite es...
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n^2}}{e^{n^2}} = 0 < 1$
Por lo tanto, como el resultado del límite es menor a $1$, entonces Cauchy nos asegura que nuestra serie converge.